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4.1 采购决策模型
一、经济批量法
经济批量法（EOQ，Economic Order
Quantity）是指某种物料的订购费用和保管费用之和为最低时的最佳订购批量法。订购费用是指从订购至入库中所需要的差旅费、运输费用率等；保管费用是指物料储备费、 验收费、仓库管理费、 所占用的流动资金利息费、 物料储存消耗费等。ＥOQ法一般用于需求是常量和已知的，成本和提前期也是常量和已知的， 库存能立即补充的情况之下，即它是用于连续需求的、库存消耗是稳定的场合，要求满足以下一些假设条件：
1. 材料需求是固定的，且在整个时期内保持一致；
2. 提前期（从材料订购材料到货的时间）是固定的；
3. 单位产品的价格是固定的；
4. 所有的相关成本都是固定的，包括存储成本和订购成本等；
5. 所有的材料需求都能满足，且不允许延期交货。
由这些条件可以看出，在现实中要满足所有这些条件几乎是不可能的，但这些假设提供了一个非常好的研究起点，可以使问题简单化。
经济批量订货的模型如图5－3所示，该模型实际上反映了库存量和时间之间的一个关系。由图可以看出，定购批量为Ｑopt，也是库存量的最大值，订货点为 ，平均库存量为 ，=Ｑ/2，订货提前期为T,ｄ为单位时间平均需求量，根据前面的假设条件提前期是固定的,所以每次订货的再订货点为
=dT。０通常，以产品成本、 采购成本和储存成本的总和来表示总成本，即
总成本=产品成本＋采购成本+储存成本
产品成本＝产品单价×需求量
采购成本＝每次采购成本×该期的采购次数
储存成本＝平均库存量×该期单位储存成本
图5－3 经济批量订货模型
设Ｄ为年需求量，C为单位物料采购成本，H为单位存货的年成本，S为一次订货的业务成本，则每年的定购次数可以用年需求量除以每次订货的批量得到，即为:Ｄ/Ｑ。
Ｑ Ｄ
由此可以计算每年的储存成本为－Ｈ，每年的采购成本为－Ｓ，总成本以ＴＣ表示，
２ Ｑ
则ＴＣ 为：
Ｄ Ｑ
ＴＣ = ＤＣ ＋－Ｓ ＋ －Ｈ
Ｑ ２
按照使总成本最小的原则，计算订购批量，方法是对上式以Q为变量的表达式求导，并设其一阶导数为零。具体计算过程如下：
ｄTC -D H
---- = 0 + ---- + --=0
ｄQ Q*Q 2
则
最佳批量 
最佳批次 
（取近似整数）
最佳订货周期 
例5－3：某生产企业对物料A的年需求量为D=2500单位，订购成本S=80元/次，存储成本H=12元/单位.年，提前期T=7天，单价C=120元，求经济订购批量、再订购点和年总成本。
解  =182.6≈183（单位）
再订购点为
= T=（2500/365）′7=47.9?48（单位）
最佳批次  ≈14（次）
最佳订货周期  ≈26（天）
年总成本为：
D Q 2500 183
TC = DC + --S + --H = 2500×120 ＋ -----×80 + ---×12 = 302190.9(元)
Q 2 183 2
二、边使用边到达的模型
经济批量订货模型假设货物是成批到达的， 且是瞬时到达。 有一种情况需要考虑， 就是对所需物料是一边生产一边使用，即并不要求成批瞬时到达， 如图5－4所示。 图中ABF因不是瞬时到达，故现有库存量沿AC上升而不是沿AB上升，AC的斜率表示供货率， 又因为供货过程中不断消耗，故实际库存量沿AD上升，至Ｄ点后，供货完成，D点至F点则只有消耗，到F点后库存量降至0，此过程为一个订货周期。
在这种模型下， 生产出来的物料将被持续地消耗， 所以在边生产边使用的模型下， 已知提前期，并且没有安全库存量，则库存水平永远低于批量大小。假定Ｐ是每天的供货率（或生产率），ｄ是每天的用货率（需求率），供货率必须大于消耗率，订货批量为Qp， 生产的期间为Tp，则每天的生产率（AC的斜率）等于订货批量除以生产期间，即
p = Qp / Tp
设总的消耗时间为Td，则需求率（DF的斜率）等于订货批量除以消耗时间，即
d = Q / Td
图5－4 边使用边消耗的库存模型
得到生产期间的总的供货量为
Qp = ｐTp
设Ｉmax为最高库存量，则
Ｉmax = (p-d)Tp
由式Qp= ｐTp
解出Tp，并代入Ｉmax=(p-d)Tp中，可以得到用总供货量表示的最高库存为：
Ｑp
Ｉmax = (p-d)---
ｐ
此时，平均库存量为Ｉmax/2，则年储存成本为：
Ｉmax Ｑp
----H = (p-d)---
2 ｐ
年采购成本公式维持不变。则年总成本为：
Ｄ Ｑp
ＴＣ = ＤＣ ＋---Ｓ ＋(p-d) ---Ｈ
Ｑp ２p
同样，对批量Qp求导，并令其为零，可以得到此时的最佳订购批量用opt为：
很明显，采用这种模型，订货批量增大，而总成本一定比瞬时到达的模型要小。当供货率ｐ→∞时，与经济订购批量公式相同。如ｐ＝ｄ，即供货率和消耗率相等，经济订购批量opt→∞，这种情况意味着供货必须持续不断，此时，库存量永远为０，相应的库存成本也为0， 这种情况是JIT（Just
In Time）生产所追求的目标。
同理，最佳订货次数 
例5－4：在例5－3中，假设物料是边生产边消耗，并假设每天生产率(供货率)为：ｐ＝１２单位／天，每天需求率为：ｄ＝６单位／天，则将上述数据代入上式中可得订货批量为：
=  = 258（单位）
=  ≈ 10（次）
三、 批量价格折扣模型
在上述两种存储模型分析过程中，单位物料的采购成本是按常数处理的，所以，不影响采购问题的决策。但在实际中，为促进销售、扩大市场占有率、供货方常常会对不同的采购量制定不同的价格，一般情况下，一次性购买的数量越多，单价越低。只有在少数情况下，由于商品短缺，商品限量供应，超过限额单价要提高。
批量价格折扣模型和经济批量订购模型一样，要求需求是连续分布的。它是一种价格随订货量变化而变化的订货模型，其基本思想是在经济批量订货模型的基础上，根据供应商提供的批量价格，０计算出不同价格水平下的经济订购量和其对应的总成本，总成本最小的订购量就是最优订购量。
设在一个瞬时进货、不允许缺货的存储问题中，当采购量Q小于某一常量Q1时， 即当0＜Q＜Q1
，采购单位价格为K1元；当采购量介于Q1和Q2之间时，即Q1≤Q＜Q2时，采购单位价格为K2元；依次类推，而当Qi-1 ≤ Q＜ Qi时，采购单位价格为 Qi元……。其中 Qi为价格折扣的分界点，且满足K1＞K2＞…＞Ki
。其最优订货批量的计算方法为：
(1) 先不考虑批量价格折扣影响,求出最优订货批量  （其中D为年需求量,S为每次订货成本，H为年平均存储成本）并确定Ｑopt落在哪个区间,假定为（Qi，Qi＋1）
，此时的平均总成本即为 。
(2) 然后取Q等于Ki+1,Ki+2,…,Kn
，并代入平均总成本函数， 计算出结果后进行比较， 最后选取使总成本最小的Q值作为最优订货批量。
即求min(C(),C(Ki+1),C(Ki+2),…C(Kn))的值。
例5－5：某企业每年需要某种附件8000个，每次订购费用为180元，保管费用每件每年0.5元。附件单价K随采购数量不同而变化，试计算经济批量。
解：首先利用经济批量公式 计算得
= 
≈ 2400（个）
正好落入区间 [0, 2500）内
而后，利用公式 
计算总成本C(2400) =  +2400×4 = 10800（元）
然后取Q等于Ki+1,Ki+2,…,Kn
，并代入平均总成本函数
C(2500) = +2500×3.8= 10700（元）
C(5000) = +5000×3.5= 18700（元）
最后求最小值
min(C(),C(Ki+1),C(Ki+2),…C(Kn))
=min(C(2400),C(2500),C(5000))
=min(10800,10700,18700)
=10700
则对应最优批量为=2500（个）
按需确定批量模型
按需确定批量订货法 （As Required，又称为纯订单毛需求法） 是物料订购的批量等于净需求量，也称直接需求法（Lot
For Lot）。 这种批量的计算方法往往适用于生产或订购数量和时间基本上能够给予保证的物料，或者所需物料的价值较高，不允许过多地生产或保存物料。它的特点是：
1． 订购批量恰好与净需求量相匹配；
2． 供应量恰好就是单位时间的需求量，而不会产生剩余转到未来时区；
3． 保管费用最小；
4． 准备费用和能力限制可忽略不计。
表5－18 按需确定批量法
周
|
净需求量 |
订货量 |
期末库存 |
保管费用 |
准备费用 |
总成本 |
1 |
60 |
60 |
0 |
0 |
100 |
100 |
2 |
100 |
100 |
0 |
0 |
100 |
200 |
3 |
75 |
75 |
0 |
0 |
100 |
300 |
4 |
90 |
90 |
0 |
0 |
100 |
400 |
5 |
70 |
70 |
0 |
0 |
100 |
500 |
6 |
90 |
90 |
0 |
0 |
100 |
600 |
7 |
85 |
85 |
0 |
0 |
100 |
700 |
8 |
70 |
70 |
0 |
0 |
100 |
800 |
如表5－18所示，如第一周的订货量就是第一周的需求量，期末没有剩余转入第二周， 所以保管费用为0。 而由于每周都有订货，所以每周都有一次准备费用产生， 因此，使用这种方法往往会使准备费用较高（总成本中不包括材料成本）。（注意：这里采用的是按周来记录需求的，实际中，可以利用旬或天来统计需求。）该方法主要适用于那些完全依ＢＯＭ毛需求计划计算而得，每批独立展开计算的高单价物料品（Ａ类），或者是纯ＯＥＭ委托订单生产的情况，或者是几乎无重复性流行类产品的生产。
四、最小总费用存储模型
最小总费用法是一个动态确定订购批量的方法，其原理是比较不同的订货量所对应的保管费用和准备费用，从中选择使二者尽可能接近的订购批量。
表５－１９列出了最小总费用法的求解过程。计算最小总费用订购批量就是按周数的变化比较批量的准备费用和保管费用。如第一周可以只按照本周的需求量订货，也可以按照第一和第二周的总需求量订货，还可以将前３周的总需求量作为订货量。最小总费用法的算法就是比较不同的订货所产生的准备费用和保管费用，寻找使两者最接近的订货量。从下表可以看出，第一周的订货量为395个单位时，所产生的订货准备费用（100）和保管费用（80）之间的差额最小。 因此， 使得第一周总费用最小的订货量为395个单位，这个订购批量可以满足前五周的需求。
第１周下达的订购批量可以满足前五周的需求，接下来考虑的是第６周的订购批量，从表5－19中可以看出，第6周的订货量为245个单位时， 从第6周到第8周需求所对应的准备费用和保管费用是最接近的， 因此第6周最优的订购批量为 245个单位， 可以满足6，7，８三周的需求。因为本例中的计划周期只有８周，因此订货量只满足到第８周，如果计划周期大于８周，订货量还可能满足以后数个工作日的需求，并且可以此类推下去。这就是最小总费用法和最小单位费用法（下面讨论的方法）的一个局限性，即受到计划期长度的影响。
表5－19 最小总费用法的计算过程
周
|
净需求量 |
订货量 |
保管费用 |
准备费用 |
总成本
|
1 |
60 |
60 |
0 |
100 |
100 |
1-2 |
100 |
160 |
10 |
100 |
110 |
1-3 |
75 |
235 |
25 |
100 |
125 |
1-4 |
90 |
325 |
52 |
100 |
152 |
1-5 |
70 |
395 |
80 |
100 |
180（总成本最小）
|
1-6 |
90 |
485 |
125 |
100 |
225 |
1-7 |
85 |
570 |
176 |
100 |
276 |
1-8 |
70 |
640 |
225 |
100 |
325 |
6 |
90 |
90 |
0 |
100 |
100 |
6-7 |
85 |
175 |
8.5 |
100 |
118.5 |
6-8 |
70 |
245 |
22.5 |
100 |
122.5（总成本最小）
|
表5－20列出了最小总费用法计算的最终结果，第1、6周分别发生一次订货，批量为395和245个单位，整个计划期的总成本为302.5元。
表5－20 最小总费用法的计算结果
周
|
净需求量 |
订货量 |
期末库存 |
保管费用 |
准备费用 |
总成本 |
1 |
60 |
395 |
335 |
33.5 |
100 |
133.5 |
2 |
100 |
0 |
235 |
23.5 |
0 |
157 |
3 |
75 |
0 |
160 |
16 |
0 |
173 |
4 |
90 |
0 |
70 |
7 |
0 |
180 |
5 |
70 |
0 |
0 |
0 |
0 |
180 |
6 |
90 |
245 |
155 |
15.5 |
100 |
295.5 |
7 |
85 |
0 |
70 |
7 |
0 |
302.5 |
8 |
70 |
0 |
0 |
0 |
0 |
302.5 |
五、最小单位费用存储模型
最小单位费用法和最小总费用法一样，也是一个动态确定批量的方法。这种方法的算法是将不同订购量的单位订货费用（准备费用和保管费用相加，再除以订购量）进行比较，选择单位费用最小的订购批量作为最优订购量。
表5－21列出了最小单位费用法的计算内容，当第一周的订购量为３９５个单位时， 单位费用最小，订货量可以满足前五周的需求。然后再从第六周开始计算，第6周订购量为245单位时单位费用最小。最小单位费用法和最小总成本法都受到计划期长短的影响, 如果计划期更长,那么第6周的订购量可能会发生变化。
表5－21 最小单位费用法的计算过程
周
|
净需求量 |
订货量 |
保管费用 |
准备费用 |
总费用 |
单位费用
|
1 |
60 |
60 |
0 |
100 |
100 |
1.667 |
1-2 |
100 |
160 |
10 |
100 |
110 |
0.6875 |
1-3 |
75 |
235 |
25 |
100 |
125 |
0.532 |
1-4 |
90 |
325 |
52 |
100 |
152 |
0.468 |
1-5 |
70 |
395 |
80 |
100 |
180 |
0.456 （最小）
|
1-6 |
90 |
485 |
125 |
100 |
225 |
0.464 |
1-7 |
85 |
570 |
176 |
100 |
276 |
0.484 |
1-8 |
70 |
640 |
225 |
100 |
325 |
0.508 |
6 |
90 |
90 |
0 |
100 |
100 |
1.111 |
6-7 |
85 |
175 |
8.5 |
100 |
118.5 |
0.677 |
6-8 |
70 |
245 |
22.5 |
100 |
122.5 |
0.5 （最小）
|
表5－22列出了最小单位费用法的计算结果，第1、6周各发生一次订货，订购量分别为395和245个单位，整个计划期的总成本为302.5元。
表5－22 最小单位费用法的计算结果
周
|
净需求量 |
订货量 |
期末库存 |
保管费用 |
准备费用 |
总成本 |
1 |
60 |
395 |
335 |
33.5 |
100 |
133.5 |
2 |
100 |
0 |
235 |
23.5 |
0 |
157 |
3 |
75 |
0 |
160 |
16 |
0 |
173 |
4 |
90 |
0 |
70 |
7 |
0 |
180 |
5 |
70 |
0 |
0 |
0 |
0 |
180 |
6 |
90 |
245 |
155 |
15.5 |
100 |
295.5 |
7 |
85 |
0 |
70 |
7 |
0 |
302.5 |
8 |
70 |
0 |
0 |
0 |
0 |
302.5 |
|
|
|
1.1