运用单纯形法对决策模型求得最佳产品生产组合方案后，在模型中各决策变量系数和约束方程右端常数不变的条件下，依据该方案组织生产，将会使目标函数达到最大值。但在实际的企业生产经营活动中，通常还需要分析变动目标函数方程中的价值系数或约束方程中的决策变量系数、约束方程右端常数对最优解和最优值的影响，进行最优化后分析和比较性决策，作为更深层次的研究。为此，引进对偶问题的性质和对偶单纯形法。
（一） 对偶问题的定义
　　 对一个决策模型求解后再进行最优化后分析，通常要用到对偶问题的概念。对偶问题的定义如下：
设有决策问题模型为：
　　　　　　　　
这一模型可以称为原始问题，则形如
　　　　　　　　
的模型称为原始问题的对偶问题。模型中的y1、y2、… yn称为对偶变量。由原始问题构成对偶问题的原理如下：
（1）一个原始问题中的每一个约束条件对应着对偶问题中的一个对偶变量。
（2）一个原始问题中约束条件右端常数等于对偶问题目标函数中相应对偶变量的系数。
（3）一个求最大化的原始问题，其对偶问题即是求最小化；同样，一个求最小化的原始问题，其对偶问题即是求最大化。
（4）最大化问题应有（≤）的约束条件，而最小化问题应有（≥）的约束条件。

[例4－2－3] 设有线性规划模型
　　　　　　　　
如将该模型作为原始问题，则其对偶问题为：
　　　　　　　　
反之，如将上述模型作为原始问题，则其对偶问题即为原线性规划模型。
　　 有时，在一个求最大化的问题中会有(≥)的约束，而在一个求最小化的问题中会有(≤)的约束，这只要在这些约束方程的两边同乘（－1），使不等式反向即可。
　　对约束中有（＝）的约束方程，则只要在其对偶问题中定义与这些方程所对应的对偶变量为无符号约束变量即可。这是因为对一个具有（＝）约束的方程
　　　　　　　　
是可以用两个联立不等式
　　　　　　　　
即：
　　　　　　　　
来代替的。对应于这两个(≤)约束的对偶变量分别设为yi+（≥0）和yi-（≥0）后，在对偶问题目标函数中的表示形式为bi(yi+-yi-)，而在对偶问题约束条件中的表示形式为aij(yi+-yi-)(j=1、2、n)。再令yi=yi+-yi-，则yi可正可负，成为无符号约束变量。
[例4－2－4] 设有线性规划模型：
　　　　　　　　
将该模型作为原始问题，可进一步表示为：
　　　　　　　　
则其对偶问题可以表示为：
　　　　　　　　　  
令y2=y2+-y2-后，对偶问题又可表示为：
　　　　　　　　　
　　由此可见，原始问题中具有（＝）约束的方程，对应着对偶问题中的无符号约束变量；反之，原始问题中无符号约束变量，对应着对偶问题中的（＝）约束。

（二） 对偶单纯形法
　　对于一般的对偶问题，可以运用单纯形法求解。但在最优性条件已被满足、可行性条件尚未被满足的情况下，可用对偶单纯形法求解。
[例4－2－5] 求解下列线性规划模型
　　　　　　　　　　
解：将上述规划模型中的约束方程变形为（≤）约束后，引入松弛变量有：
　　　　　　　　
相应的初始解表格为：


　　表中，f(x)方程中所有系数都已是非负的，因为是求最小化,  所以，最优性条件已被满足。但这时的初始基本解为x3=-3、x4=-6、x5=3，是不可行的，  因而， 可用对偶单纯形法来求解。
　　同一般单纯形法一样，  对偶单纯形法的运算过程也是以最优性条件和可行性条件为基础的，只不过在运用对偶单纯形法求解的过程中， 最优性条件保证其解始终保持最优，  而可行性条件又迫使基本解从不可行转向可行空间。
　　对偶单纯形法的可行性条件是从基变量中选取负的最多的变量作为换出变量（若有几个相同时可任选其中之一），如果所有的基变量都已是非负的,则计算过程终止而取得可行最优解。
　    换出变量确定后，  再根据对偶单纯形法的最优性条件从非基变量中选取换入变量， 算出f(x)方程左边系数与换出变量方程中小于0的对应系数之比。如果是求最小化，  那么换入变量是对应于具有最小比值的变量；如果是求最大化，换入变量则是对应于比值中具有最小绝对值的变量（若有几个相同时可任选其中之一）。 如果换出变量方程中所有系数都已大于0，  则没有可行解。
　　换出变量和换入变量确定后，再用通常的方法进行迭代，得到新的单纯形表。例如，在上述的对偶初始解表中，因为x4=-6是负的最多的基变量，所以，可以被确定为换出变量。f(x)方程左边系数与换出变量x4方程中的对应系数之比为：

　　　　　　　
　　因为是求最小化且比值1/3为最小，所以，与之对应的变量x2就作为换入变量， x4方程中的系数－3为主元。迭代后,即可得到新的对偶单纯形表，依次下去直到求得最优解，如表4－2－6所示。
　　

　　经过两次迭代后，所有的基变量都已是非负的，它们的取值分别为x1*=3/5和x2*=6/5，这时即已取得了最优解，最优值f*(x)=12/5。
　　从以上的计算过程中可以看到，对偶单纯形法的初始基本解是非可行解，不需要再增加人不变量就可进行基变量的变换,使计算简化,这是对偶单纯形法的一大优点。