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3.2 两变量等级目标规划的图解法
传统的线性规划的图解法，是从诸个极点中选择一个能使目标函数值取得最大（或最小）的极点。而只含有两个变量的等级目标规划的图解法，则是按照优先等级的次序求得一个解的区域，并且逐步将区域缩小到一个点。若在可行区域内首先找到一个能使P1级各目标均能满足的区域R1, 则再在R1中寻找一个能使P2级各目标均能满足的区域R2
(显然R1>R2)， 如此继续下去，直到找到一个区域R3满足P3级的各目标，这个R3即为问题的解。 其中，Rj称为第j级的解空间。若某一个Rj(1≤j≤s)已缩小到一个点，则计算应终止， 这一点即为最优解，它只能满足P1，P2，…，Pj级目标, 而无法进一步改善以满足 Pj＋1，…，Ps 各级目标。目标规划图解法的具体计算步骤如下：
1、根据给定的所有目标与约束条件，作出相应的直线图形；
2、根据偏差变量变化方向，确定第一优先级P1级各目标的解空间R1；
3、转到下一个优先级Pj级各目标，确定它的"最佳"解空间Rj， 这里"最佳"的含义是指这个解空间不允许影响已得到的较高级别目标的最优性，并满足
 ；
4、在求解过程中，若解空间Rj已缩小为一点，则求解过程结束， 因为已没有进一步改进的可能；
5、重复第３步和第４步过程，直到解空间缩小为一点，或所有s个优先级都已搜索过时为止。
[例4-3-4］用图解法解在例4-3-3中引进优先等级因子后的目标规划模型。
解：在例4-3-3中引进优先等级因子后的目标规划模型为：
在平面直角坐标系上作出上述约束条件直线图，如图4-3-1(a)所示。
首先, 确定第一优化级Ｐ1目标的解空间Ｒ1, 需要使 最小, 取＝0
。 同时，为增加产量，充分扩大工序生产能力，令 ＝0，由此得 ＋ ＝160， 再因为与 、与 不能同时大于0， 所以令在第二个约束条件G2和第三个约束条件G3中的 和分别为０， 并在＋＝１６０的条件下， 将式Ｇ2和Ｇ3相加得 3X1+2X2--=180， 即3X1+2X2=340。这表明第一优化级目标的最机解空间Ｒ1是条直线AB，如图4-3-1(b)所示。
然后， 确定第二优化级P2级目标的解空间R2。 由于在对应的约束条件G5中， 正偏差是不允许的， 必须有 ＝０； 同时要求 最小，则在不影响P1级目标最优性前提下可取＝0实现P2级的目标， 从而得到第二优先级的解空间R2， 这时的解空间已缩小为一点， 得到了目标规划模型的最优解为X1=200/3，X2＝70， ＝320，＝310/3和＝170/3， 边际贡献＝b1＝＝1000＝320＝680
，即为图中的C点，同时实现了P1和P2级的目标， 但P3和P4级的目标不能完全实现，求解过程至此结束。
[例4-3-5] 用图解法解下列目标规划模型
解：在平面直角坐标系上作出上述约束条件直线图。然后考虑第一优先级P1的两个目标 和同时最小，取＝＝0，P1级中的目标同时实现，满足P1级目标的解空间R1，如图4-3-2(a)中所画的阴影区域部分所示。
 
图 4-3-2(a) 图解法P1级届空间R1的确定 图
4-3-2(b) 图解法P2级解空间的确定
再考虑第二优先级Ｐ2的目标，需要求min。从图4-3-2(a)可以看出，在不影响级P1目标的前提下，直线G3上方的区域可通过使＝0来确定，实现P2级目标， 从而得到第二优先级的解空间R2，如图4-3-2(b)所示。
接着考虑第三优先级Ｐ3的目标，需要求min 。从图4-3-2(b)可以看出，在不影响P1，P2级目标的前提下,通过使＝０只要在R2中去掉>0的部分，即得第三优先级的解空间R3，如图4-3-2(c)所示。
图 4-3-2(c)图解法P3级解空间R3的确定
最后只剩下考虑最低优先级Ｐ4了，需要求min 。考察图4-3-2(c)中的R3及直线G5， 可以清楚地看到要使＝0，解必须在直线G5的下方，而R3位于G5的上方， 所以已不可能在不影响已确定的较高优先级目标的情况下取零值。为了保证不影响较高优先级的目标，在Ｒ3的边界线AC上选择一点，使其对应的之值尽可能地小。为此，通过约束条件Ｇ5比较点Ａ及点Ｃ处的值。 在点Ａ（0，8）处=８， 在点C(6，3.2)处＝11.6， 故确定点Ａ为解，因为这是R3中最靠近直线
的一点。至此， 解空间已缩小到一点Ａ，从而在这一点上已得到了最优的解  ＝0和 ＝8。它同时实现了P1，P2和P3级的目标，但对Ｐ4极目标却不能完全实现，比预定的目标多出一个单位。
对含有多个变量的等级目标规划模型，要用单纯形法来求解，求解原理与图解法相同。
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