2.5 趋势外推法
趋势外推法也称趋势延伸法，它是将根据历史时间序列揭示出的变动趋势外推到未来，以此来确定预测值的一种预测方法。如果时间序列呈现出一定的规律性，就可以运用趋势外推法进行预测。
趋势外推法可分为线性趋势外推预测法和曲线趋势外推预测法。线性趋势外推预测法由于预测数据呈线性变动趋势，所以用于拟合的预测模型主要也就是线性模型，主要的方法是用线性回归法，在本章中有专节进行讨论，在此不在赘述。这里主要讨论曲线趋势外推预测法。
１.二次曲线模型预测法
在市场上，某些产品的销售并不一定按同一趋势发展，有可能出现先上升而后下降的趋势；也有可能出现先下降，当下降到一定程度后又迅速上升的趋势。二次曲线模型在图形上正好表现出了上述的两种趋势，利用历史资料，拟合成二次曲线模型，这一模型的应用已经成为市场预测中的一种普遍方法。
二次曲线的数学模型为：
式中， x―― 时间序列中的时期数，是自变量；
 ――
时期 t 的预测值；
a,b,c―― 三个待定常数。
从二次曲线模型可以看出，该曲线具有纵坐标的二级增长量为常数的特性。这种曲线多用于那种已表现出发展趋势，且其历史资料的二级增长量大体相等的企业产品销售状况的预测。
确定模型中的常数a,b,c时，一般多采用最小二乘法。 利用最小二乘法来确定a,b,c的值，目标是使
 为最小。 因此，分别对a,b,c求偏导数，并令其等于
0 ，即：
整理后，可得联立方程组：
解上述方程组，可得：
例2－4
， 某产品 1997 ～ 2002 年的实际市场销售额如表2－4 所示，试对 2003 年的市场销售额进行预测。
表2－5 某产品 1997 ～ 2002 年的实际市场销售额
年份
|
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
销售额
（单位：百万元） |
56 |
52 |
46 |
56 |
72 |
78 |
解：首先，对各相关数值计算，结果如 表2－6所示。
表2－6 二次曲线模型最小二乘法表内计算
年份
|
时期数x
|
实测值 y
（百万元） |
|
|
|
xy
|
y |
计算值
（百万元） |
1997 |
1 |
56 |
1 |
1 |
1 |
1 |
56 |
55 |
1998 |
2 |
52 |
4 |
8 |
16 |
104 |
208 |
51 |
1999 |
3 |
46 |
9 |
27 |
81 |
138 |
414 |
51 |
2000 |
4 |
56 |
16 |
64 |
256 |
224 |
896 |
56 |
2001 |
5 |
72 |
25 |
125 |
625 |
360 |
1800 |
66 |
2002 |
6 |
78 |
36 |
216 |
1296 |
468 |
2808 |
81 |
|
21 |
360 |
91 |
441 |
2275 |
1350 |
6182 |
|
然后，将表内数值代入上面的公式中计算a 、b
、c 的值，则有：
b=-12.107,c=2.464,a=65，
代入模型即得到二次曲线的拟合方程：
 ，
可以对 2003 年的市场销售额进行预测，当时x=7，则有：
 （百万元）＝
1.01 （亿元）。
所以， 2003 年该产品的预测销售额为 1.01 亿元。
２.指数曲线模型预测法
在一定时期内，有些产品的销售量往往表现为随着时间的变化按同一增长率不断增加或不断减少。指数曲线预测法正是针对这种产品的销售变化趋势，利用其时间序列资料，拟合成指数曲线，建立模型并进行预测的一种方法。其数学模型为：
式中， x―― 时间序列中的时期数，是自变量；
――
时期 t 的预测值；
a,b―― 两个待定常数。
确定 a 和 b 两个常数的值，可用最小二乘法， 求解方法是在指数模型两边各取对数，将指数模型转换为线性模型，计算过程如下：
在 两边取对数，得到 。
设  ， 则上式可改写为＝A+Bx，根据最小二乘法，可以求得
A 、 B 为：  ，再由
 解得
 ，至此即可建立指数曲线模型。
|
1.1
